热 学 第 12 章 气体动理论 · 温度 · 理想气体压强与温度的微观解释
大学物理 · 第 1 讲 | 对应 PPT 第 1–56 页
课程导入 PPT 第 02 页
课前投票
课前投票 · 单选 高中有没有学习过热学部分的内容？
课程导入 PPT 第 03 页
思考题
热学研究的范畴有哪些？ 你觉得热学中最关键的物理量是什么？ 和其他物理学科相比，热学可能的研究方法是什么？有什么特点？ 哪些学科可能与热学有关系？
课程导入 PPT 第 04 页
什么是热学
组成宏观物体的大量微观粒子都在做永不停息的无规则运动，由于这种无规则运动的剧烈程度在宏观上表现为温度的高低，因此称为热运动 。
热学：研究物质热运动规律的科学。
例如：
物质的相变（气态、液态、固态） 物质的属性（体积、电导率等）与温度的关系 热机的效率
课程导入 PPT 第 05 页
热学的研究方法
1. 宏观法 —— 热力学（Thermodynamics）
由观察和实验总结出来的热现象规律，构成热现象的宏观理论。宏观基本实验规律 →（逻辑推理）→ 热力学三大定律 → 热现象规律。
2. 微观法 —— 统计物理学（Statistical Physics）
从物质微观结构出发，即从分子、原子的运动和它们之间的相互作用出发，去研究热现象的规律。微观模型、假设 →（统计方法）→ 热现象规律。
核心区别 宏观法以实验定律为出发点，用逻辑推理得到结论，不追问微观机制；微观法从分子模型出发，用统计平均把微观量与宏观量联系起来。两者互为补充，结论必须一致。
课程导入 PPT 第 06 页
热学与其他学科的关系
由大量粒子构成的系统都是“热力学系统”，如：固体系统、流体系统、量子系统等 热学的研究思想、方法影响到其他领域 延伸 视频：物理学与经济学——把经济系统中的“大量个体 + 交换 + 统计”抽象出来，正是同一套统计思想。
视频：物理学与经济学 课程视频
课程导入 PPT 第 07 页
从热学到智能
热学所孕育的概念、方法与语言，是连接物理、数学与智能科学 的桥梁。下面的图景展示了这一跨越学科的联系。
课程导入 · 跨学科 PPT 第 08 页
2024 年诺贝尔物理学奖
约翰·霍普菲尔德（美国）
1954 斯沃斯莫尔学院物理学学士；1958 康奈尔大学物理学博士；1958 贝尔电话实验室理论物理组。磁性材料热学性质 时，建立了一个具有节点和连接的模型网络（霍普菲尔德网络），成为人工神经网络的雏形。
杰弗里·辛顿（英国）
1970 剑桥大学实验心理学学士；1976 苏塞克斯大学认知科学研究员；1978 爱丁堡大学人工智能学博士；1987 多伦多大学计算机科学系教授。统计物理原理 发明“玻尔兹曼机”，可对图像进行分类。
启示 透过现象看本质 · 知识与能力的迁移 · 跨学科创新
2024 年诺贝尔物理学奖：霍普菲尔德与辛顿
课程导入 · 跨学科 PPT 第 09 页
霍普菲尔德：从磁体到记忆
寻找“大问题” ：1977 年在哥本哈根组织“物理学家与现代生物学”研讨会，决心寻找一个能超越传统学科界限的“大问题”。兴趣（好奇心） ：参加麻省理工学院神经科学研究计划讨论组，对大脑如何产生意识这类深刻问题充满好奇。独特的物理学视角 ：希望用理论物理工具——尤其是凝聚态物理中的模型——为神经科学找到“物理学视角”，定义和构造对这个领域有用的东西。师从自然。概念来源 ：目标是发现大脑与计算机在“计算”上的共性——两者都在一个状态空间中，遵循动力学轨迹从初始状态流向稳定终点。这与凝聚态物理中的伊辛模型（Ising model） 高度相似，该模型描述磁性材料中原子自旋的相互作用。霍普菲尔德正是借鉴这个框架，用系统“能量”的概念构建了 1982 年提出的“霍普菲尔德网络”。
约翰·霍普菲尔德（John J. Hopfield）
课程导入 · 跨学科 PPT 第 10 页
辛顿：为什么是物理奖
辛顿获得实验心理学学士学位和人工智能博士学位。学术背景是计算机科学和心理学，但其方法和工具都深深植根于物理学原理 ，并对物理学本身产生了重大影响。
他最具代表性的工作——玻尔兹曼机 （Boltzmann Machine）——正是一座连接计算机科学和物理学的桥梁：它的状态概率分布就是我们在本章将要学习的玻尔兹曼分布 。
杰弗里·辛顿（Geoffrey Hinton）
课程导入 PPT 第 11 页
从热学出发的统一视角
热学不仅是物理学的重要基石，更是连接微观与宏观世界的桥梁。它所孕育的概念、方法与语言，有助于深入理解《概率论与数理统计》的基本数学思想，洞察复杂系统（科学）中的自组织与相变规律，也为学习神经网络与人工智能奠定重要基础。
从热学出发，我们获得的不仅是一门学科知识，更是一种贯通物理学、数学与智能科学等学科的统一视角。
01
§12-1 温 度 平衡态与状态参量 · 热力学第零定律与温标 · 理想气体状态方程
§12-1 温度 PPT 第 13 页
热学的开端：测温学
伽利略（16 世纪） 利用空气的热胀冷缩性质，制作了人类第一个空气温度计，开始了对物体冷热程度（温度）进行定量研究，可作为测温学 （Thermometry）的开端。
说明 此时还没有统一的温度数值标准——温度计只能告诉我们“更热/更冷”，还不能给出“多少度”。定量化的关键，是建立温标。
伽利略温度计 空气温度计
§12-1-1 平衡态 状态参量 PPT 第 15 页
12-1-1 平衡态 状态参量
在热力学中，所研究的物体或物体组叫做热力学系统 ，简称系统（system）。系统所处的外部环境称为外界 （surrounding）。
按系统与外界交换的内容分类：
开放系统
与外界既有能量交换，又有粒子（物质）交换。
孤立系统
与外界没有任何相互作用，既无能量交换、也无粒子交换。
系统与外界：能量交换与物质交换
§12-1-1 平衡态 状态参量 PPT 第 16 页
三类系统的实例
孤立系统
刚性绝热壁与外界隔开，无能量、无粒子交换。保温瓶 。
封闭系统
以导热壁与外界相隔，只交换能量，不交换粒子。铁桶中放入热水，再封闭起来 。
开放系统
与外界既有能量交换又有粒子交换。铝壶在火上烧水 。
分类依据 能量交换与物质（粒子）交换——是本课程中所有热力学分析的第一步。
§12-1-1 平衡态 状态参量 PPT 第 17 页
一、平衡态
在不受外界条件影响下，经过足够长的时间后，系统必将达到一个宏观性质不随时间变化的状态，叫做平衡态 。
平衡态的特征
系统内没有宏观粒子流动和能量流动； 处在平衡态的系统的宏观量不随时间改变，但是组成系统的大量分子仍在作热运动，而且因为碰撞，每个分子的速度经常在变——这称为热动平衡 。 易错点 “平衡”指的是宏观 性质不变，而不是分子停止运动。微观上分子仍在剧烈运动，只是各种统计平均值不再随时间变化。
§12-1-1 平衡态 状态参量 PPT 第 18 页
过程的三种描述
弛豫时间（relaxation time）
系统状态的变化必然破坏原来的平衡态，而到达新的平衡态则需要一定时间，这个时间称为弛豫时间。
准静态过程（quasi-static process）
如果过程进行得足够缓慢，而系统建立新的平衡态所需的弛豫时间又很短，则可以认为系统经历的过程是由一系列平衡态组成的。
非静态过程
在实际过程中，往往在新的平衡态建立以前系统就在外界作用下继续下一步变化，所以系统经历的是一系列非平衡态。
§12-1-1 平衡态 状态参量 PPT 第 19 页
准静态过程的一个估计
例如：气缸内压缩气体的弛豫时间约 $10^{-3}\,$s，而转速为 150 r/min 的四冲程内燃机，整个压缩冲程的时间为 0.2 s，比 $10^{-3}\,$s 高两个量级，故该过程可以当作准静态过程。
由于平衡态具有确定的状态量，在状态参量构成的坐标空间中，系统的一个状态对应一个点，一个准静态过程则对应于一条曲线 。
状态图上的一条准静态过程曲线
§12-1-1 平衡态 状态参量 PPT 第 20 页
随堂思考
随堂思考 · 单选 热力学系统的平衡状态应理解为：
系统的宏观性质不随时间变化的状态 系统各处压强和温度相同的状态 系统在恒定的外界条件下，与外界无宏观能量和物质交换时，经足够长时间后达到的稳定状态 系统中每个分子都处于平衡的状态 答：C。A、B 只描述了部分特征，D 把微观与宏观混淆——单个分子永远不“平衡”。
§12-1-1 平衡态 状态参量 PPT 第 21 页
平衡态与稳定态的区别
1）平衡态
系统与外界无宏观能量、粒子交换 ，各处宏观性质不随时间变化。
2）稳定态
有能量流或粒子流，各处宏观性质不随时间变化的状态。
理想概念 平衡态是一种理想状态，在实际中并不存在完全不受外界影响、而宏观性质绝对保持不变的系统。但在许多实际问题中，可以把实际状态近似地当作平衡态来处理。
热端 冷端
§12-1-1 平衡态 状态参量 PPT 第 22 页
二、状态参量
我们把可以独立变化又足以确定热力学系统平衡态的一组宏观物理量称为状态参量 。
描述热力学系统的状态参量
几何参量（如体积） 力学参量（如压强） 化学参量（如系统中各种成分的摩尔数） 电磁参量（如电场强度和磁场强度） 在一般情况下，需使用以上四类状态参量来描述热力学系统的平衡态。
态函数 ：由平衡态确定的其他宏观物理量（如温度、内能等）都可以表示为这四类状态参量的函数。广延量 ：具有可加性，如体积、内能等等。强度量 ：不具有可加性，如温度、压强等等。
§12-1-2 热力学第零定律 温标 PPT 第 23 页
12-1-2 热力学第零定律 温标
日常生活中，常用温度来表示冷热的程度：
冷热程度（汉语习惯） 温度区间 冷热程度 温度区间 极寒 −40 ºC 或低于此值 温暖 18 ~ 19.9 ºC 严寒 −20 ~ −29.9 ºC 暖 20 ~ 21.9 ºC 大寒 −10 ~ −14.9 ºC 热 22 ~ 24.9 ºC 小寒 −5 ~ −9.9 ºC 炎热 25 ~ 27.9 ºC 微寒 0 ~ 4.9 ºC 酷热 30 ~ 34.9 ºC 凉 5 ~ 9.9 ºC 奇热 35 ~ 39 ºC 温凉 10 ~ 11.9 ºC 极热 高于 40 ºC
温标 Temperature scale 要把“冷热程度”变成可比较、可复现的数值，必须回答：用什么物质、什么属性、什么固定点、什么函数关系？这就是温标要解决的问题。
§12-1-2 热力学第零定律 温标 PPT 第 24 页
一、热力学第零定律（Fowler，20 世纪 30 年代）
在不受外界影响的情况下，只要 A 和 B 同时与 C 处于热平衡，即使 A 和 B 没有接触，它们也必定处于热平衡。此规律被称为热力学第零定律 。
热接触 ：各处于一定平衡态的两个热力学系统相互接触，使它们之间发生传热。热平衡 ：热接触后的两个系统，经一段时间后，达到共同的平衡态，称为热平衡。类比 这就是“传递性”：A 与 C 热平衡、B 与 C 热平衡 ⟹ A 与 B 热平衡。它使“温度”这个量有了可比较的基础。
§12-1-2 热力学第零定律 温标 PPT 第 25 页
第零定律的意义
热力学第零定律为建立温度概念提供了实验基础 ； 互为热平衡的系统具有相同的温度； 推证：互为热平衡的热力学系统具有一个数值相等的状态函数，这个函数定义为温度 。 $$A \overset{\text{热平衡}}{\longleftrightarrow} C,\quad B \overset{\text{热平衡}}{\longleftrightarrow} C \quad\Longrightarrow\quad A \overset{\text{热平衡}}{\longleftrightarrow} B$$
要点 温度不是“感觉”，而是由第零定律保证存在的一个态函数 。测温就是把这个态函数与某个可测量的属性（体积、压强、电阻……）建立一一对应。
§12-1-2 热力学第零定律 温标 PPT 第 26 页
二、温标
温度的数值表示法叫温标 。凡是以某种物质的某一特性随冷热程度的变化为依据而确定的温标，为经验温标 。
经验温标的三要素
选择测温物质，确定测温属性； 选定固定点； 规定测温属性随温度的变化关系。 测温的前提 A 和 B 热平衡，则 $T_A = T_B$；当 B 相对 A 很小（记作 B ≪ A）时，A 改变很小，$T_B$ 基本仍是原来体系 A 的温度——这就是我们用温度计测温的依据。
测温物质与测温属性 温度计
§12-1-2 热力学第零定律 温标 PPT 第 27 页
显热与相变潜热
把冰从低温加热到水蒸气，温度—热量曲线上会依次出现 Sensible（显热） 与 Latent（潜热） 两种阶段：升温过程吸收显热，温度变化；融化与汽化过程吸收相变潜热，温度不变。
0 ºC 处：冰 → 水，吸收熔化潜热 ； 100 ºC 处：水 → 水蒸气，吸收汽化潜热 ； 冰其实有 19 种相结构 ——同一种物质的固态并不唯一确定。 为什么固定点选水的冰点与汽点 因为相变过程中温度不变，这一温度由物质本身决定、可复现性好——所以相变点天然适合作温标的固定点。
显热（Sensible）与相变潜热（Latent） 冰的多种相结构
§12-1-2 热力学第零定律 温标 PPT 第 28 页
历史上的摄氏温标
冰点 ：0 ºC（1 atm，纯冰和纯水混合物）汽点 ：100 ºC（1 atm，纯水和水蒸气混合物）测温属性随温度作线性变化 几种常用的温度计
水银温度计、酒精温度计（液体体积） 定压气体温度计（气体体积） 铂电阻温度计（电阻） 铂—铂铑热电偶（温差电动势） 问题 用各种不同的摄氏温度计测量同一对象的温度时，所得结果是否相同呢？
§12-1-2 热力学第零定律 温标 PPT 第 29 页
不同温度计的读数差异
横坐标表示氢定容温度计的读数，纵坐标表示其他温度计读数低于它的值。
水银温度计、二氧化碳定压温度计、铂—铂铑热电偶、铂电阻温度计各自给出不同的曲线； 用不同的测温物质所建立的摄氏温标，除冰点和汽点按规定相同外，其他温度并不严格一致。 结论 经验温标依赖于测温物质的选择——这是它最大的缺陷。我们需要一种“不依赖物质个性”的温标。
不同温度计测温值的差异（纵坐标为其低于氢定容温度计的读数）
§12-1-2 热力学第零定律 温标 PPT 第 30 页
2. 理想气体温标：定容气体温度计
定容气体温度计（查理定律，等容，法国） ：容器体积保持不变，气体压强随温度升高而增大。O 位置不变，气体体积相同，压强不同，则温度不同——温度是压强的函数 。
$$T \;=\; \lim_{p_{tr}\to 0} \left( 273.16 \, \frac{p}{p_{tr}} \right) \ \text{K}$$
其中 $p_{tr}$ 是气体温度计中的气体在水的三相点时的压强，$p$ 为待测温度下气体的压强。
定义热力学温标（单位 K，开尔文） 上式取 $p_{tr}\to0$ 的极限，就得到不依赖于具体气体的理想气体温标。
定容气体温度计
§12-1-2 热力学第零定律 温标 PPT 第 31 页
固定点：水的三相点
比例系数 $a$ 由固定点 来确定； 固定点选水的三相点 ，并规定它的温度为 273.16 K ； $p_{tr}$ 为气体温度计中的气体在水的三相点时的压强。 $$T = 273.16 \, \frac{p}{p_{tr}}\ \text{K} \qquad (V = \text{const})$$
作为对照：定压气体温度计 保持压强不变，用体积随温度的变化测量温度，同样以水的三相点为固定点。
为什么是 273.16 K 0.01 ºC 恰好是水的三相点温度，273.16 = 273.15 + 0.01。三相点是纯物质唯一一个三相共存的确定状态，复现性极佳。
§12-1-2 热力学第零定律 温标 PPT 第 32 页
水的相图
在 $p$–$T$ 平面上，水的固、液、气三相对应的区域由三条相界线分开，三条线交于一点——三相点 （273.16 K，611.657 Pa）。相图的终点是临界点 （647 K，22.06 MPa），超过它，液态与气态不再可分。
水的相图：三相点与临界点
§12-1-2 热力学第零定律 温标 PPT 第 33 页
理想气体温标
实验结果表明：不论采用何种气体 ，无论是定压还是定容，所建立的温标在气体压强趋于零时，都趋于一共同的极限值； 这个极限温标叫做理想气体温标 ； 利用不同气体作为测温物质，所得温度值相差很小； 理想气体温标不依赖于任何一种气体的个性，用不同的气体时所指示的温度是相同的。 适用范围 对于极低的温度（气体的液化点以下）和高温（1200 K 左右），理想气体温标就不适用了。
§12-1-2 热力学第零定律 温标 PPT 第 34 页
3. 热力学温标
一种不依赖于测温物质和测温属性 的温标，单位为开尔文（K）。国际规定，热力学温标是最基本的温标。 热力学温度是基本物理量，1 K 等于水三相点热力学温度的 1/273.16。 热力学温标是一种理想化的温标。理想气体温标在它所能确定的温度范围内，理想气体温标和热力学温标是完全一致的。 $$1\ \text{K} = \frac{T_{\text{三相点}}}{273.16}$$
§12-1-3 理想气体状态方程 PPT 第 35 页
12-1-3 理想气体状态方程
在一定的平衡态，热力学系统具有确定的几何参量、力学参量、电磁参量，同时也具有确定的温度。
对于一定质量的气体，可以用压强和体积来描述其平衡态，因而温度可写为：
$$T = f(p,\,V) \quad \Longleftrightarrow \quad F(p,\,V,\,T) = 0$$
这就是气体状态方程 。它由以下实验定律综合而来：
【英】玻意耳定律：$pV = \text{常量}$ 【法】查理定律：$T/p = \text{常量}$ 【法】盖-吕萨克定律：$T/V = \text{常量}$ 实验定律 三条定律分别对应等温、等容、等压过程，把它们合起来，就得到联系三个状态参量的状态方程。
§12-1-3 理想气体状态方程 PPT 第 36 页
物质的量与阿伏伽德罗常量
物质的量 ：基本量，单位摩尔（mol）。摩尔是一系统的物质的量，所包含的基本单元的数目等于 0.012 kg 碳-12 的原子数目。阿伏伽德罗常量 （Avogadro constant）：$N_A = 6.02214129(27)\times10^{23}\ \text{mol}^{-1}$ $$N = \nu N_A,\qquad \nu = \frac{m}{M}$$
其中 $m$ 为质量，$M$ 为摩尔质量，$N$ 为总分子数，$\nu$ 为摩尔数。
阿伏伽德罗定律 在温度和压强相同的条件下，1 mol 任何气体的体积都相同，记作 $V_m$。
§12-1-3 理想气体状态方程 PPT 第 37 页
三条实验定律与阿伏伽德罗定律
玻意耳定律
气体的温度保持不变时，其压强和体积成反比。$pV = \text{常量}$（等温过程）。
查理定律与盖-吕萨克定律
等容过程：$p/T = \text{常量}$；
由理想气体温标的定义：设有 $\nu$ mol 的理想气体，取等容过程与等温过程分别作比较，即可把三者统一。
阿伏伽德罗定律 在温度和压强相同的条件下，1 mol 任何气体的体积都相同，记作 $V_m$。实验测得在标准条件（1 atm，冰点）下，1 mol 气体的体积为 22.4 L 。
§12-1-3 理想气体状态方程 PPT 第 38 页
理想气体状态方程
$$pV = \nu RT = \frac{m}{M}RT = NkT$$
$$p = nkT,\qquad n = \frac{N}{V}$$
其中 $R$ 为摩尔气体常量 ，$k$ 为玻尔兹曼常量 ：
$$R = N_A k = 8.314\ \text{J·mol}^{-1}\text{K}^{-1}$$
$$k = 1.3806488(13)\times10^{-23}\ \text{J·K}^{-1}$$
$n = N/V$ 为分子数密度 ； $\nu = m/M$ 为摩尔数 ； 能严格满足理想气体状态方程的气体被称为理想气体 。 形式选择 $pV=\nu RT$ 用宏观量（质量、摩尔数）书写；$p=nkT$ 把宏观压强与微观数密度直接联系起来，是下一节压强微观解释的出发点。
02
§12-2 理想气体的压强和温度的微观解释 分子运动论基本观点 · 理想气体微观模型与统计假设 · 压强与温度的统计解释
§12-2 压强与温度的微观解释 PPT 第 40 页
观点一：宏观物体由大量分子组成
1. 宏观物体是由大量微粒——分子（或原子）组成的。
分子（原子）间有空隙，证据：
气 ：气体容易被压缩；液 ：水和酒精混合后体积小于两者原来的体积之和；固 ：高压钢筒壁渗透出油。直接“看”到原子 扫描隧道显微镜（STM）可以在 Ni(110) 表面用单个 Xe 原子排成字符；扫描隧道显微镜的碳原子图像直接显示了原子的存在与排布。
扫描隧道显微镜（STM）下的碳原子图像 IBM：用单个 Xe 原子在 Ni(110) 表面排成字符
§12-2 压强与温度的微观解释 PPT 第 41 页
观点二：分子永不停息的无规则热运动
2. 分子或原子在不停的热运动着，这种运动是无规则的，其剧烈程度与物体的温度有关。
分子热运动的例证——扩散、布朗运动
扩散 ：溴蒸气与空气混合，比空气重的溴蒸气也会扩散到空气中，最后颜色均匀；清水中滴入红墨水；压紧的金属长时间后，每块金属的接触面内部都有另一种金属成分。布朗运动（Brown 运动） ：悬浮在液体中的微小颗粒作永不停息的无规则运动，颗粒越小、温度越高，运动越剧烈。
布朗运动：花粉微粒在液体中的无规路径
§12-2 压强与温度的微观解释 PPT 第 42 页
观点三：分子之间有相互作用力
3. 分子之间有相互作用力。
固体和液体的分子不会散开而能保持一定的体积，并且固体还能保持一定的形状——因为固体和液体的分子之间有相互吸引力 ； 固体和液体很难压缩，说明分子之间除了吸引力，还有排斥力 ，它阻止分子相互靠近； 平衡间距 $r_0 \sim 10^{-10}$ m，分子之间存在相互作用力是一个短程力 。 典型图像 分子力随间距先表现为斥力、越过 $r_0$ 后表现为引力，最后迅速趋于零；对应的势能曲线在 $r_0$ 处取极小值。
分子间作用力与势能曲线
§12-2-1 微观模型和统计假设 PPT 第 43 页
12-2-1 理想气体微观模型和统计假设
从分子运动论的基本观点出发，要得到可计算的结论，需要两样东西：
理想气体的微观模型
对单个分子的行为作简化假设（体积、力、碰撞、运动规律）。
统计假设
对大量分子整体的分布与运动方向作等概率假设。
然后通过统计方法 ，把微观量（分子的质量、速率、动量等）的统计平均值与宏观量（压强、温度、内能等）联系起来。
$$\text{微观量} \xrightarrow{\ \text{统计方法}\ } \text{宏观量（压强、温度、内能等）}$$
§12-2-1 微观模型和统计假设 PPT 第 44 页
一、理想气体的微观模型
分子的体积可以忽略； 除碰撞瞬间外，分子间的作用力可忽略； 分子间的碰撞及与器壁的碰撞视为完全弹性碰撞； 分子服从经典运动规律。 合理性 这些假设正是“理想气体”一词在微观层面的含义：分子像一个个极小的弹性小球，几乎自由地飞行。它与宏观上“严格遵守 $pV=\nu RT$”的气体相对应。
§12-2-1 微观模型和统计假设 PPT 第 45 页
二、平衡态下的统计假设
分子的空间分布是均匀的（忽略重力影响）——气体分子数密度处处相等； 频繁碰撞、各方向运动机会均等——分子速度沿各方向取向的概率相同。 $$\overline{v_x} = \overline{v_y} = \overline{v_z} = 0$$
$$\overline{v_x^2} = \overline{v_y^2} = \overline{v_z^2} = \frac{1}{3}\overline{v^2}$$
$$\overline{v^2} = \overline{v_x^2} + \overline{v_y^2} + \overline{v_z^2}$$
注意 这些都是“大量分子的统计值”，对单个分子没有意义。第二条推出的“三维等分”关系，是压强公式推导的关键。
§12-2-2 压强的微观解释 PPT 第 46 页
12-2-2 理想气体压强的微观解释
大量分子的碰撞造成对器壁的压力——这就是气体压强的微观来源。
设物理量：$N$（总分子数）、$n$（分子数密度）、$m_0$（分子质量）、$v_i$（第 $i$ 个分子的速率）、$v_{ix}$（其 $x$ 分量）。
推导策略 平衡态下各处压强均相等，只需计算容器中任何一壁 所受的压强即可。以下按四步推导。
§12-2-2 压强的微观解释 PPT 第 47 页
压强公式的推导（一）
第一步：一个分子与器壁碰撞一次对器壁的作用
$$\Delta p_i = m_0 v_{ix} - (-m_0 v_{ix}) = 2 m_0 v_{ix}$$
第二步：每秒一个分子碰撞该器壁的次数
$$\frac{v_{ix}}{2 l_x}$$
分子间碰撞所产生的影响由于统计平均将彼此抵消——因此只需考虑分子与器壁的碰撞。
容器模型 设容器为边长 $l_x,\,l_y,\,l_z$ 的长方体。一个分子沿 $x$ 方向往返一次的路程为 $2l_x$，故单位时间碰壁次数为 $v_{ix}/2l_x$。
§12-2-2 压强的微观解释 PPT 第 48 页
压强公式的推导（二）
第三步：一个分子给器壁的平均作用力
$$f_i = 2 m_0 v_{ix} \cdot \frac{v_{ix}}{2 l_x} = \frac{m_0 v_{ix}^2}{l_x}$$
第四步：$N$ 个分子给器壁的平均冲力，进而求压强
$$F = \sum_{i=1}^{N} \frac{m_0 v_{ix}^2}{l_x} = \frac{m_0}{l_x}\sum_{i=1}^{N} v_{ix}^2$$
$$p = \frac{F}{l_y l_z} = \frac{m_0}{l_x l_y l_z}\sum_{i=1}^{N} v_{ix}^2 = m_0 n \overline{v_x^2}$$
§12-2-2 压强的微观解释 PPT 第 49 页
理想气体压强公式
$$p = m_0 n \overline{v_x^2} = \frac{1}{3} m_0 n \overline{v^2}$$
$$p = \frac{1}{3} n m_0 \overline{v^2} = \frac{2}{3} n \bar{\varepsilon}_k, \qquad \bar{\varepsilon}_k = \frac{1}{2} m_0 \overline{v^2}$$
其中 $n = N/V$ 为分子数密度，$\bar{\varepsilon}_k$ 为分子的平均平动动能。
上式中的压强是可以直接测量的，而气体分子的平均平动动能却不能直接测量，所以不能由实验直接证明它的正确性，但从这个公式推证出的许多结果，已被实验所证明。 以上推导，不仅应用了力学规律，同时还应用了统计规律——正是统计规律将理想气体的宏观量和微观量的统计平均值联系起来了。
§12-2-2 压强的微观解释 PPT 第 50 页
关于压强公式的三点说明
压强是一个统计平均量 ； 压强公式是一个统计规律 ，不是力学规律； 由玻尔兹曼统计可以推导出 $p = nkT$，与实验得到的状态方程完全一致。 $$p = \frac{1}{3} n m_0 \overline{v^2}$$
$$\bar{\varepsilon}_k = \frac{3}{2} k T \quad \Longrightarrow \quad p = \frac{2}{3} n \cdot \frac{3}{2} kT = n k T$$
一致性检验 统计力学推出 $p=nkT$，而经验状态方程为 $pV=\nu RT$；由 $n=N/V$、$N=\nu N_A$、$k=R/N_A$ 可知二者完全等价。
§12-2-2 压强的微观解释 PPT 第 51 页
温度的微观解释
$$\bar{\varepsilon}_k = \frac{1}{2} m_0 \overline{v^2} = \frac{3}{2} k T$$
$$T = \frac{2}{3k} \bar{\varepsilon}_k$$
$$p = n k T$$
温度是大量分子热运动的集体表现，也是统计的结果； 对于单个分子或者少量分子，温度的概念没有意义，但是平均动能的概念有意义。 出处 《费曼物理学讲义》第一卷，第 41 章，布朗运动，第 41-1 节，能量均分。
§12-2-2 压强的微观解释 PPT 第 52 页
费曼论布朗运动与能量均分
费曼原文摘录 《费曼物理学讲义》第一卷 · 第 41 章 · 布朗运动
布朗运动是一位植物学家布朗于 1827 年发现的。当他研究微生物时，他注意到植物花粉的细小微粒在他正在用显微镜观察的液体中到处游来游去。这时，他很明智地领悟到这些东西不是生物，而是在水中沿四周运动的微小的尘粒。事实上，为了帮助说明这一点和生命无关，布朗取一块从地下挖出的年代久远的石英岩，石英岩内含有一些水。这种水必然已贮存了数百万年以上，但是在这样的水中布朗也看到了同样的运动。人们看到的是非常微小的粒子一直在不停地晃动。
以后，人们证明了这是分子运动的一种效应。我们可以通过想象在游艺场中有一个很大的可以推动的球来定性地理解这种效应：假定我们从很远的地方看去，下面有一大堆人，所有的人都从各个方向推动着这个球。我们看不到人，因为我们想象离开球太远了，但可以看见球，并且注意到它相当无规则地来回运动。由前几章讨论的定理我们知道，悬浮在液体或气体中的微粒的平均动能是 $\frac{3}{2}kT$ ，即使这个微粒远比一个分子重，情况仍然如此。
§12-2-2 压强的微观解释 PPT 第 53 页
思考题
思考题 · 讨论 容器中装有理想气体，气体处于平衡态，分别在相对于容器静止和运动的参考系中测量气体的温度，结果是否不同？为什么？
答：相同。温度由分子无规则热运动的平均平动动能决定，与参考系无关；参考系匀速运动只使所有分子的速度叠加一个相同的常量，不改变分子无规运动的剧烈程度。
§12-2-2 压强的微观解释 PPT 第 54 页
随堂思考
随堂思考 · 单选 若盛有理想气体的容器相对于某坐标系做匀速运动，则该容器内的分子速率相对此坐标系也增加，问该气体的温度将如何变化？
答：C。整体平动速度是系统性的定向运动，不计入热运动的平均平动动能。
§12-2-2 压强的微观解释 PPT 第 55 页
随堂思考：道尔顿分压定律
随堂思考 · 单选 在一密闭容器中，储有 A、B、C 三种理想气体，处于平衡状态。A 种气体的分子数密度为 $n_1$，它产生的压强为 $p_1$；B 种气体的分子数密度为 $2n_1$，C 种气体的分子数密度为 $3n_1$，则混合气体的压强 $p$ 为：
答：D。由 $p=nkT$，总压强 $p=(n_1+2n_1+3n_1)kT=6n_1kT=6p_1$。
道尔顿分压定律 对于含有多种化学成分的混合气体，混合气体的压强等于各成分气体分压强之和。可阅读课本相关例题。
§12-2-2 压强的微观解释 PPT 第 56 页
气体分子的方均根速率
根据理想气体的压强公式与 $\bar{\varepsilon}_k=\frac{3}{2}kT$，可得分子的方均根速率：
$$v_{rms} = \sqrt{\overline{v^2}} = \sqrt{\frac{3kT}{m_0}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$$
气体种类 方均根速率 / (m·s⁻¹) 摩尔质量 / (10⁻³ kg·mol⁻¹) O₂ 4.61×10² 32.0 N₂ 4.93×10² 28.0 H₂ 1.84×10³ 2.02 CO₂ 3.93×10² 44.0 H₂O 6.15×10² 18.0
在 0 ºC 时，各种气体分子方均根速率的数量级为 $10^2\sim10^3$ m·s⁻¹——与声速同量级，这正说明热运动是相当“剧烈”的。
