晶格振动与声子（一）：从一维链到固体比热

本讲导读对应 PPT 第 1–4 页（导入）· 第 5–47 页（正文）· 第 48–54 页（小结与作业）

本讲要回答一个看似简单、实则深刻的问题：固体里的原子并不是静止在格点上的，它们在振动——这些振动如何决定固体的热学性质？

这一讲在整章中的位置

第 2 章的主线是：原子振动 → 简正模式 → 独立谐振子 → 量子化 → 声子 → 统计分布 → 宏观热学性质。 这其实是一套标准套路：用平移对称性把复杂耦合问题对角化，对每个模式量子化，再用玻色统计求平均，最后得到可测量的宏观量。

第 1 讲完成这条主线的全部关键环节：一维链的色散关系（§2-1、§2-2）给出“模式”是什么； 三维推广与模式密度（§2-3）给出“有多少个模式”； 量子化（§2-4）给出“每个模式贡献什么”；比热（§2-5）给出“如何求和成宏观量”； 非简谐效应（§2-6）说明“简谐近似漏掉了什么”。 下一讲（第 2 章第 2 讲）将处理更真实的三维晶格动力学，以及声子谱的实验测定与第一性原理计算。

前情提要：为什么必须引入“声子”PPT 2–4

课程从一个看似矛盾的事实讲起：固体在室温下的热容接近 $3R$（杜隆-珀替定律），这与“每个原子 3 个自由度、每自由度 $\tfrac12k_B$”的经典结论一致；但到了低温，所有固体的热容都趋于零，经典理论彻底失效。

要解释这件事，必须把晶格的振动量子化——就像爱因斯坦把电磁场量子化为光子一样。量子化后的振动能量子就是声子（phonon）。 声子是晶格振动的准粒子，它把固体中“原子的集体振动”这件事，转化成一套可以像气体一样做统计的粒子语言。

一、为什么需要晶格振动对应 PPT 第 2–4 页

晶格振动是固体物理中最早被完整解决、也是影响最深远的问题之一。它的重要性体现在三个层次。

1）它是固体热学性质的根源

固体在常温下的热容、低温下的热容温度依赖、热膨胀、热导率——这些性质全部来自晶格振动。特别是热导率：在绝缘体中，热量完全由晶格振动（声子）输运。

2）它决定固体的“电学行为”

金属在低温下电阻率随温度变化的 $T^5$ 规律、超导现象中电子配对的中介机制，都依赖声子。 后面第 4 章讲能带时看到的“电子-声子相互作用”，其出发点正是本讲建立的声子图像。

3）它提供了一个可精确求解的样板

晶格振动是唯一能够解析求解的多体问题（在简谐近似下）。它示范了凝聚态物理的核心方法： 平移对称性 $\Rightarrow$ 行波解带 $e^{iqna}$ 因子 $\Rightarrow$ 本征值问题 $\Rightarrow$ 简正模式 $\Rightarrow$ 独立谐振子。

二、一维单原子链§2-1　对应 PPT 第 5–13 页

2.1 模型与运动方程PPT 6–7

考虑一维无限长单原子链：原子质量均为 $m$，平衡间距为 $a$，只考虑最近邻相互作用，力常数为 $\beta$。

• 第 $n$ 个原子偏离平衡位置的位移记为 $u_n$；
• 第 $n$ 个原子与第 $n+1$ 个原子之间的相对位移为 $u_{n+1}-u_n$，故它受到的力为 $\beta(u_{n+1}-u_n)$；
• 与第 $n-1$ 个原子之间的相对位移为 $u_n-u_{n-1}$，受力 $-\beta(u_n-u_{n-1})$。

由牛顿第二定律：

2.2 色散关系的求解PPT 7–8

利用平移不变性，试设行波解

代入运动方程。左边给出 $-m\omega^2 A e^{iqna}$，右边给出

消去公共因子 $Ae^{iqna}$：

由于 $\omega\ge0$（频率取正根），最终得到

2.3 三个区域与长波极限PPT 9

长波极限给出声速

这说明微观的力常数 $\beta$、原子质量 $m$、格常量 $a$ 决定了宏观的声速。反过来，只要测出声速与晶格常数，就能估计力常数。

布里渊区边界的驻波图像

当 $qa=\pi$ 时，$e^{iqa}=-1$，于是 $u_n=A(-1)^n e^{-i\omega t}$：相邻原子的位移等大反向。此时波长 $\lambda=2a$——这是格点上能够分辨的最短波长。把 $\lambda<2a$ 的波搬到格点上，无法与某个更长的波区分开。这正是下一小节“周期性”的物理根源。

2.4 周期性：为什么只取第一布里渊区PPT 10

色散关系对波矢具有周期性。先把 $q$ 换为 $q+2\pi/a$：

更本质地看：位移序列是 $u_n\propto e^{iqna}$。把它换成 $q'=q+2\pi/a$，则

因为 $n$ 恒为整数，$e^{i2\pi n}\equiv1$。也就是说，$q$ 与 $q+2\pi/a$ 给出完全相同的格点位移序列，它们在物理上不可区分。

后果：波矢的数目等于原胞数

第一布里渊区内 $q$ 的取值是离散的。以一维长度 $L=Na$ 的链为例，玻恩-卡门条件给出 $q=\dfrac{2\pi}{Na}j$，$j$ 为整数。在一个布里渊区（长度 $2\pi/a$）内：

恰好 $N$ 个允许的 $q$ 值，与原子数相同。这与“模式数等于自由度数”的约束一致：一维单原子链有 $N$ 个原子、$N$ 个自由度、$N$ 个模式。

2.5 相速度与群速度PPT 11

波在介质中传播时有两个速度，它们的物理含义完全不同：

由 $\omega(q)=2\sqrt{\beta/m}\,\sin(qa/2)$（取 $0\le q\le\pi/a$），求导得

可见 $v_g$ 从 $q=0$ 处的 $v_s$ 单调下降到 $q=\pi/a$ 处的 0。而 $v_p=\dfrac{2\sqrt{\beta/m}\sin(qa/2)}{q}$ 在布里渊区边界并不趋于零。两者只有在 $qa\ll1$ 时才相等。

2.6 玻恩-卡门边界条件PPT 12

真实的晶体尺寸有限，但表面原子数远少于体内原子数，直接处理表面会带来不必要的复杂性。标准的处理方法是玻恩-卡门（Born–von Kármán）周期性边界条件：

代入行波解 $u_n=Ae^{i(qna-\omega t)}$，得 $e^{iqNa}=1$，即 $qNa=2\pi j$，于是

三、一维双原子链§2-2　对应 PPT 第 14–22 页

单原子链只有一支色散关系。真实晶体多为复式晶格（每个原胞含多个原子），这带来了晶格动力学中最重要的一对概念：声学支与光学支。

3.1 模型与联立方程PPT 15–16

设一维链由两种原子交替排列，质量分别为 $M_1$（重）与 $M_2$（轻），间距 $a$，最近邻力常数 $\beta$ 相同，原胞长度 $2a$。

• 把 $M_1$ 的位移记为 $u_{2n}$，$M_2$ 的位移记为 $u_{2n+1}$；
• 注意每个原子的左右近邻都是异种原子，因此 $M_1$ 与 $M_2$ 的运动方程都必须同时含有对方——这正是耦合的来源。

试设两个振幅不同的行波解：

代入后消去公共时间因子，得到关于 $A$、$B$ 的齐次线性方程组：

3.2 久期方程与两支解PPT 17

方程组有非零解的条件是系数行列式为零：

展开得 $\omega^2$ 的二次方程，解出

区边界处的频率

在 $q=\pi/(2a)$ 处 $\sin qa=1$，根号内的第二项取极大值，两支离得最近；在 $q=\pi/a$ 处 $\sin qa=0$，得到两支的边界值：

3.3 频谱带隙PPT 18

两支色散关系的取值区间不重叠：

（上式中已设 $M_1>M_2$。）中间这段

称为带隙（frequency gap）。带隙内不存在任何允许的晶格振动模式。

带隙的物理来源

在 $q=\pi/a$ 附近，相邻原子反相振动。此时如果两个原子的质量不同，它们各自的“固有频率”$\sqrt{2\beta/M_1}$ 与 $\sqrt{2\beta/M_2}$ 不同，耦合后无法形成统一的共振频率，于是振动模式分裂为两支，缝隙宽度由质量差决定。

带隙的可测量后果

3.4 振幅比与两种振动图像PPT 19–20

把解出的 $\omega$ 代回任一方程，即可得到振幅比 $A/B$。这个比值比频率本身更能说明物理。

声学支（低频支）

两个原子同向、等幅运动。此时原胞内部两个原子不相对运动，整个原胞像一个刚体一样整体平移——这就是原胞质心的运动。因此它的最低频率在 $q\to0$ 时趋于 0。

光学支（高频支）

两个原子反向运动，且振幅与质量成反比（以保证质心不动）。此时原胞内部发生相对运动。

3.5 色散曲线总览与三维修正PPT 21

把两支色散关系画在同一张 $\omega$–$q$ 图上（取 $0\le q\le\pi/a$，设 $M_1>M_2$），可以读出三个要点：

1. 两条曲线不相交，中间空出带隙；
2. 声学支从原点出发，光学支从有限频率出发；
3. 区边界处两支分别由重原子频率与轻原子频率决定。

四、三维推广与模式密度§2-3　对应 PPT 第 23–28 页

4.1 从一维到三维PPT 24

三维情形下，位移成为矢量 $\mathbf u(\mathbf R)$，力常数成为张量 $\Phi_{\alpha\beta}(\mathbf R-\mathbf R')$，运动方程为

试设行波解 $\mathbf u(\mathbf R)=\mathbf e\,e^{i(\mathbf q\cdot\mathbf R-\omega t)}$，其中 $\mathbf e$ 为偏振矢量。代入后得到一个 $3p\times3p$ 的本征值问题（$p$ 为原胞内原子数）：

其中 $\mathbf D(\mathbf q)$ 为动力学矩阵（dynamical matrix）。对每个 $\mathbf q$，解出的 $3p$ 个本征值给出 $3p$ 支色散关系 $\omega_\nu(\mathbf q)$，$\nu=1,\dots,3p$。

4.2 波矢空间与玻恩-卡门条件PPT 25

玻恩-卡门条件在三维中写作 $\mathbf u(\mathbf R+\mathbf N)= \mathbf u(\mathbf R)$（$\mathbf N$ 为三个方向的晶格平移），由此

其中 $\mathbf b_i$ 为倒格矢，$N_i$ 为三个方向的晶胞数。每个 $\mathbf q$ 点的数目等于原胞数 $N$，每个 $\mathbf q$ 点上有 $3p$ 个频率，因此总模式数为 $3pN$——正好等于晶体振动的自由度数。这是一条硬性约束。

倒空间中“状态的密度”为

因此把对 $\mathbf q$ 的求和换成积分时：

（这里 $V_{\text{BZ}}=(2\pi)^3/V_c$ 为第一布里渊区体积，$V_c$ 为原胞体积。）

4.3 模式密度（声子态密度）PPT 26

模式密度（也称声子态密度）$g(\omega)$ 定义为：$g(\omega)\mathrm d\omega$ 等于频率落在 $[\omega,\omega+\mathrm d\omega]$ 区间内的模式数（单位体积或整体，视约定而定）。

三维德拜近似的推导

取线性色散 $\omega=v_sq$，则等频面是球面。半径 $q$ 到 $q+\mathrm dq$ 的球壳体积为 $4\pi q^2\mathrm dq$，乘以态密度 $V/(2\pi)^3$，再乘以支数 3（纵 + 2 横，粗略地取同一 $v_s$）：

于是

不同维度的一般规律

一般结论：在统一的线性色散近似下，$g(\omega)\propto\omega^{d-1}$。这正是低温热容依赖维度的原因：三维给出 $T^3$，二维给出 $T^2$，一维给出 $T$。

4.4 德拜截止频率：用自由度的账定出 $\omega_D$PPT 27

德拜模型把真实色散替换为线性色散，但真实色散在布里渊区边界处会“压平”并终止。为了保住模式总数，德拜人为引入一个截止频率 $\omega_D$：

于是

德拜温度定义为

五、声子的量子化§2-4　对应 PPT 第 29–34 页

5.1 简正坐标：把耦合振子对角化PPT 30

到此为止我们处理的是耦合振子。要量子化，必须先把它变成互不耦合的独立谐振子。这个变换由“简正坐标”完成。

把位移在简正模式上展开：

引入复振幅作为简正坐标 $Q_q$，则哈密顿量可以写成完全不耦合的形式：

5.2 能量量子化与声子PPT 31

对每个独立谐振子做标准的量子化处理，能量本征值为

把能量单位的激发称为一个声子（phonon）。于是：

• 声子的能量为 $\hbar\omega_\nu(\mathbf q)$；
• 声子的“数目”$n$ 是激发量子数，可取任意非负整数；
• $n=0$ 时仍有余能 $\tfrac12\hbar\omega$，即零点能——它来自不确定性原理，是声子不可被“完全冻结”的体现。

5.3 准动量与守恒定律PPT 32

行波解带因子 $e^{i\mathbf q\cdot\mathbf R}$，与动量算符 $-i\hbar\nabla$ 作用相比，形式上类似动量。定义

称为准动量（crystal momentum）。它有两点必须注意：

1. 它只在相差一个倒格矢的意义下确定：$\mathbf q$ 与 $\mathbf q+\mathbf G$ 给出相同的格点位移，因此准动量是“模 $\hbar\mathbf G$”的。
2. 它不等于真实动量：准动量来自晶格的离散平移对称性，是平移群的表示标签，而不是连续空间中动量算符的本征值。晶格本身可以吸收动量。

碰撞中的守恒律

两个声子碰撞（或声子与电子、光子碰撞）时，能量与准动量满足

其中 $\mathbf G$ 是任一倒格矢。根据 $\mathbf G$ 是否为零，把散射分为两类：

只有能量守恒始终严格成立（时间平移对称性），准动量只在相差倒格矢的意义下守恒。

5.4 声子气体与玻色分布PPT 33

声子是玻色子（自旋为 0 的整数量子），其平均占据数服从玻色-爱因斯坦分布：

关键点：声子的化学势为零，$\mu=0$。原因很简单——声子的数目不守恒：格子振动的模式数固定（$3pN$ 个谐振子），但每个模式上的激发数（声子数）随温度自由变化，无需额外守恒律约束。

与光子的对比

两者都是“无质量、无粒子数守恒的稳定玻色子气体”，并且它们都在 $T\to0$ 时数目趋于零。这是它们与电子（费米子）最本质的区别，也是后面第 3 章讲费米分布时的对照基础。

三个温度极限

六、声子统计与固体比热§2-5　对应 PPT 第 35–40 页

6.1 经典困境：杜隆-珀替定律为什么失效PPT 36

由经典能量均分定理，每个原子有 3 个振动自由度，每个自由度贡献 $\tfrac12k_BT$ 的动能与 $\tfrac12k_BT$ 的势能，合计 $k_BT$，于是每摩尔（$N_A$ 个原子）

它在室温下对 Al、Cu、Pb、Fe 等简单金属确实近似成立。但存在两个致命的失败：

1. 低温失败：所有固体的热容在 $T\to0$ 时都趋于零，而 $3R$ 与温度无关。
2. 硬材料失败：金刚石在室温下的热容只有约 $0.25\times3R$，远低于经典值。

这两个“失败”指向同一个方向：振动能量是量子化的。当 $k_BT$ 小于声子能量 $\hbar\omega$ 时，该模式难以被激发，对热容的贡献被“冻析”（frozen out）。

6.2 爱因斯坦模型PPT 37

爱因斯坦（1907）的第一个量子化尝试极为大胆：假设所有 $N$ 个原子以同一个频率 $\omega_E$ 独立振动，即

每个谐振子的平均能量为 $\langle\varepsilon\rangle=\hbar\omega_E\left(\langle n\rangle+\tfrac12\right)$，于是

对温度求导，得到爱因斯坦比热公式：

两个极限

6.3 德拜模型与两个极限PPT 38–39

德拜（1912）把假设换成更物理的版本：色散连续线性化，模式密度 $g(\omega)\propto\omega^2$，在 $\omega_D$ 处截断（见 §4.3–4.4）。总能量为

引入无量纲变量 $x=\hbar\omega/k_BT$、$x_D=\Theta_D/T$，得到

求导给出德拜比热：

低温极限：$T^3$ 定律

当 $T\ll\Theta_D$ 时，$x_D\to\infty$，积分化为常数 $\int_0^\infty\frac{x^4e^x}{(e^x-1)^2}\mathrm dx=\frac{4\pi^4}{15}$，于是

高温极限：$3R$

当 $T\gg\Theta_D$ 时展开积分，得 $C_V\to3R$，与杜隆-珀替定律一致。

6.4 两模型对比与金属的电子贡献PPT 40–41

七、非简谐效应§2-6　对应 PPT 第 41–47 页

7.1 简谐近似缺失的三件事PPT 43

简谐近似取得了巨大成功，但它有一个致命的“缺陷”：它无法解释三个基本的实验事实。

根源：势能曲线的不对称

真实原子间势能 $\phi(r)$ 并不是对称的抛物线：原子靠近时排斥急剧增强，远离时吸引缓慢减弱，因此 $\phi'''(r_0)\ne0$。把势能展开：

保留的三次项 $\tfrac12\phi'''(r_0)u^3$（以及更高次项）就是非简谐项。

7.2 热膨胀与格林艾森参数PPT 44

在纯简谐近似下 $\langle u\rangle=0$，无论温度多高，平均原子位置都不变，因此没有热膨胀。加入三次项后，位移的平均值不再为零：

更实用的处理是准简谐近似（quasi-harmonic approximation，QHA）：认为声子频率依赖于晶体体积，$\omega=\omega(\mathbf q;V)$。定义格林艾森参数

其中 $\gamma$ 就是格林艾森常数。用它可以导出热膨胀系数与热容的关系：

7.3 声子-声子散射与有限热导率PPT 45 · 含插页（页序 50–52）

非简谐项使声子之间发生散射。散射要同时满足能量守恒与准动量守恒：

如前所述（§5.3），只有 $\mathbf G\ne0$ 的 U 过程才能把准动量“还给”晶格，从而衰减热流、产生热阻。N 过程只重新分配准动量，不改变总准动量。

热导率的微观推导（一）：气体分子运动论的严格做法

公式 $\kappa=\tfrac13 C_V v_s\ell$ 并不是凭空写出来的，它的原型来自气体分子运动论对热传导的推导。 这条推导路径的价值在于：它把热导率拆成三个物理上互相独立的因子，而这三个因子在固体里各有明确的对应物。 下面完整走一遍。

考虑一块温度沿 $z$ 方向变化的介质，傅里叶定律把热导率定义为比例系数：

负号表示热量沿温度降低的方向流动。取一个假想的界面 $\Delta S$，位置在 $z_0$。

现在换一个角度：不从连续介质出发，而是数分子。设分子数密度为 $n$、平均速率为 $\bar v$、平均自由程为 $\bar\lambda$。 在单位时间内穿过 $\Delta S$ 的分子，来自其两侧各一个平均自由程的薄层内；对各向同性的速度分布做角度平均， 得到穿过界面的分子数为

因子 $\tfrac16$ 的来源是几何平均：三个方向六个面，只有迎面方向的分子能穿过，再对半球积分得 $\langle\cos\theta\rangle=\tfrac12$，合起来为 $\tfrac16$。

关键在于：这些分子带来的能量，是其出发处的能量。从 $z_0-\bar\lambda$ 来的分子携带 $\bar E(z_0-\bar\lambda)$， 从 $z_0+\bar\lambda$ 来的携带 $\bar E(z_0+\bar\lambda)$。于是净输运能量为两者之差：

把 $\bar E$ 对 $z$ 作泰勒展开（$\bar\lambda$ 是小量），两项之差为

这里出现了因子 $2\bar\lambda$——它的物理含义很直观：两股分子的出发处相距 $2\bar\lambda$，这个距离决定了它们携带的能量差。

代回并整理：

与傅里叶定律逐项对照（把 $\Delta S$ 抽出来），立刻读出热导率：

剩下最后一步：把 $\dfrac{\mathrm d\bar E}{\mathrm dT}$ 认成比热。对理想气体，单个分子的平均能量为 $\bar E=\tfrac12(t+r+2s)k_BT$（$t$ 平动、$r$ 转动、$s$ 振动自由度），因此

于是气体热导率的标准结果：

热导率的微观推导（二）：把分子换成声子

固体的热传导在绝缘体中由声子承担。奇妙的是，上面这套推导可以整体平移过来，只要逐项替换载体：

替换后即得固体的声子热导率：

热导率：经典动能论的类比

其中 $C_V$ 为比热、$v_s$ 为声速（群速度）、$\ell$ 为声子平均自由程。温度对热导率的影响主要通过 $C_V$ 与 $\ell$ 体现。

平均自由程：马西森定则

上式中真正“与什么有关”的是 $\ell$。它由多种散射机制共同决定，因为散射率（单位时间散射次数）可以相加， 对应的自由程倒数相加——这就是马西森定则（Matthiessen's rule）：

其中 $L$ 为样品尺寸。三种机制的强度对比：

综合来看，$\kappa(T)$ 在不同温区的行为如下：

实测数据对照：几种典型固体的热导率

下表把 $300\ \mathrm K$ 的实测热导率与按 $\kappa=\tfrac13\rho c_Vv_s\ell$ 反推出的平均自由程列在一起。 可以看出：热导率的巨大差异主要来自 $\ell$ 与 $v_s$，而不是 $c_V$—— 多数固体在室温下 $c_V$ 都在 $3R$ 附近（金刚石除外，它的 $\Theta_D$ 极高，$c_V$ 只有约 $0.25\times3R$）， 但 $\kappa$ 却相差四个数量级。

电阻、热阻与“收尾速度”：类比到哪一步为止

一个很自然的联想是：雨滴受重力若没有空气阻力，会一直加速、永远达不到收尾速度； 载流子受电场若没有散射，也会一直加速、得不到稳定的漂移速度，于是电阻为零、电导率发散。 那么热输运能不能照搬这个图像——“声子在温度梯度下被推着越跑越快”？

结论是：结论可以类比，但机制不能。三者同为“驱动力 $\times$ 平均自由程”型的输运过程， 无散射时响应系数都发散；但发散的东西不一样。

差异的根源在于驱动力能否给载体注入净动量。重力与电场是真实的力， 无散射时动量按 $\mathrm d\mathbf p/\mathrm dt=\mathbf F$ 线性累积，速度真的会发散。 而温度梯度是热力学力，它只规定“哪边声子多、哪边声子少”， 不改变任何单个声子的速度——声子是简谐近似下永不衰减的自由波， 其速度由色散关系唯一确定：

温度梯度无法改变 $v_{\mathbf q}$。用格林-库伯公式看最清楚，热流密度写成对所有模式的求和：

温度梯度唯一能做的是让声子数分布出现偏离 $\delta n_{\mathbf q}\neq0$—— 让往冷端去的声子比往热端去的多一些，于是这个和有了净贡献。 一旦散射率为零（简谐近似），$\delta n_{\mathbf q}$ 由出发地的平衡分布固定下来、 沿程不再松弛，$\ell\to\infty$ 使和式发散，于是 $\kappa\to\infty$； 但每个 $\mathbf v_{\mathbf q}$ 始终是 $v_s$，一个都没有变大。

7.4 声子的实验探测PPT 46

八、典型例题与思考题对应 PPT 第 13、22、28、34、41、47、51–52 页

作业

1. 一维单原子链的推导巩固。从牛顿方程出发，完整推导一维单原子链的色散关系 $\omega=2\sqrt{\beta/m}\,|\sin(qa/2)|$，并给出相速度与群速度的表达式，作图比较两者随 $q$ 的变化。
2. 双原子链的本征值问题。设 $M_1=2M_2$，力常数 $\beta$。求 $q=0$ 与 $q=\pi/a$ 处的两支频率，定出带隙上下边界；并说明在 $q=0$ 处声学支与光学支的振幅比。
3. 德拜温度的量级估计。（见例题 2-6，独立完成一遍并讨论差异来源。）
4. 热导率的微观推导。从傅里叶定律出发，完整复现 $\kappa=\tfrac13n\bar v\bar\lambda\,\mathrm d\bar E/\mathrm dT$ 的推导；再把载体换成声子，说明三个因子各自在固体中的对应物，并写出马西森定则。
5. 平均自由程的估计。某绝缘晶体在 300 K 的 $\kappa=8\ \mathrm{W\,m^{-1}K^{-1}}$，$v_s=4.0\ \mathrm{km\,s^{-1}}$，$\rho c_V=2.0\times10^{6}\ \mathrm{J\,m^{-3}K^{-1}}$。求声子平均自由程，并判断此时是体内散射还是边界散射主导（设样品尺寸 1 cm）。
6. $T^3$ 定律的应用。某绝缘晶体在 $T=10$ K 时 $C_V=0.85\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}$。假定 $T\ll\Theta_D$，求其在 $T=5$ K 时的 $C_V$，并估算 $\Theta_D$。
7. （选做）计算验证。用 Python 编写程序，对一维单原子链数值求解 $\omega(q)$ 与态密度 $g(\omega)$，并验证 $g(\omega)$ 在一维中近似为常数（可先用 $\omega=\omega_0|\sin(qa/2)|$ 的简化模型）。

思考题

九、本讲小结对应 PPT 第 48–54 页（含 4 页插页另计）

9.1 一条主线PPT 49

这条主线是凝聚态物理中最标准的“套路”：用对称性把复杂多体问题对角化，对每个独立模式做量子化， 再用玻色统计求平均，最后得到可测量的宏观量。后面处理电子（第 3、4 章）时，你会看到完全平行的逻辑。

9.2 五个核心结论

1. 色散关系的形态。一维单原子链：$\omega=2\sqrt{\beta/m}\,|\sin(qa/2)|$，$q$ 的周期为 $2\pi/a$，只在第一布里渊区中取值不重复。长波极限 $\omega=v_sq$。
2. 复式晶格有两类支。声学支（$\omega(0)=0$，原胞整体运动）与光学支（$\omega(0)>0$，原胞内部相对运动）。带隙宽度由质量差决定，$M_1=M_2$ 时闭合。
3. 声子是准粒子。每个简正模式量子化为谐振子，能级 $E_n=(n+\tfrac12)\hbar\omega$。声子携带能量 $\hbar\omega$ 与准动量 $\hbar\mathbf q$，服从 $\mu=0$ 的玻色分布。
4. 比热的量子解释。德拜模型给出 $C_V\propto T^{3}$（低温）与 $3R$（高温），统一了杜隆-珀替定律与低温下降。爱因斯坦模型给出了正确的定性图像。
5. 非简谐效应决定响应性质。三次以上项虽小，却带来热膨胀、声子散射与有限热导率。格林艾森参数把热膨胀与热容、体模量联系起来：$\alpha=\gamma C_V/(3B_TV_m)$。

9.3 三个必须记住的公式PPT 50

9.4 参考读物PPT 53

教材

• 黄昆，《固体物理学》，高等教育出版社，第 3 章 晶格振动与晶体的热学性质。本讲主要依据，推导详尽、中文表述精炼。
• Kittel, Introduction to Solid State Physics, 8th ed., Ch. 4–5，“Phonons I / II”，图多且直观，适合建立物理图像。
• Ashcroft & Mermin, Solid State Physics, Ch. 22–24。处理方式最数学化，简正坐标与量子化部分尤其严谨。
• Marder, Condensed Matter Physics, 2nd ed., Ch. 13。从连续场论角度讲声子，含非简谐效应的系统处理。

进阶与专题

• Born & Huang, Dynamical Theory of Crystal Lattices —— 晶格动力学的经典专著。
• Dove, Structure and Dynamics —— 从群论角度看晶格振动模式与选择定则。
• Grimvall, Thermophysical Properties of Materials —— 热膨胀与热导的实验与理论综述。
• Baroni 等，Phonons and related crystal properties from density-functional perturbation theory, Rev. Mod. Phys. 73, 515 (2001) —— 第一性原理计算声子的标准参考。

数值计算工具

• Phonopy —— 基于有限位移法计算声子色散与态密度，常与 VASP、Quantum ESPRESSO 配合使用。
• Quantum ESPRESSO 的 ph.x —— 密度泛函微扰理论（DFPT）直接计算声子，精度最高。
• ALAMODE —— 支持非简谐力常数提取，可算声子寿命与热导率。

附：PPT 页码对照表点击页码可跳到对应幻灯片

下表把本讲幻灯片（slide_02.html，共 54 页 + 4 页插入的补充内容，合计 58 页）的页码与本资料章节一一对应。橙色行为在源 PPT 之外新增的插页，用 #s=页序 直接跳转，不占用原有 PPT 页码。